[530020]如果看了这篇文章你还不懂频域、傅里叶，那就过来掐死我吧

我确保这篇文章和你曾经看过的一切文章都不同，这是12年还在果壳的时分写的，可是其时没有来得及写完就出国了……所以拖了两年，嗯，我是延迟症患者……

这篇文章的中心思想便是：

要让读者在不看任何数学公式的情况下了解傅里叶剖析。

傅里叶剖析不只是是一个数学东西，更是一种能够彻底推翻一个人曾经国际观的思想形式。但不幸的是，傅里叶剖析的公式看起来太杂乱了，所以许多大一重生上来就懵圈并从此对它疾恶如仇。老实说，这么有意思的东西竟然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严厉了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一向想写一个有意思的文章来解说傅里叶剖析，有或许的话高中生都能看懂的那种。所以，不论读到这儿的您从事何种作业，我确保您都能看懂，并且必定将领会到经过傅里叶剖析看到国际另一个姿态时的快感。至于关于现已有必定根底的朋友，也期望不要看到会的当地就匆促往后翻，仔细读必定会有新的发现。

————以上是定场诗————

下面进入正题：

抱愧，仍是要烦琐一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是期望咱们学习起来愈加轻松，充溢趣味。可是千万！千万不要把这篇文章保藏起来，或是存下地址，心里想着：今后有时刻再看。这样的比如太多了，或许几年后你都没有再翻开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读讲义要轻松、高兴得多……

一、嘛叫频域

从咱们出世，咱们看到的国际都以时刻贯穿，股票的走势、人的身高、轿车的轨道都会跟着时刻发生改动。这种以时刻作为参照来调查动态国际的办法咱们称其为时域剖析。而咱们也想当然的以为，人间万物都在跟着时刻不断的改动，并且永久不会停止下来。但假如我告知你，用另一种办法来调查国际的话，你会发现国际是永久不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个停止的国际就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再恰当不过的比如：

在你的了解中，一段音乐是什么呢？

这是咱们对音乐最遍及的了解，一个跟着时刻改动的轰动。但我信任关于乐器小能手们来说，音乐更直观的了解是这样的：

好的！下课，同学们再会。

是的，其实这一段写到这儿现已能够完毕了。上图是音乐在时域的姿态，而下图则是音乐在频域的姿态。所以频域这一概念对咱们都从不生疏，只是从来没意识到罢了。

现在咱们能够回过头来从头看看一开端那句痴人说梦般的话：国际是永久的。

将以上两图简化：

时域：

频域：

在时域，咱们调查到钢琴的琴弦一会上一会下的摇摆，就如同一支股票的走势；而在频域，只需那一个永久的音符。

所（前方高能！~~~非战斗人员退散~~~）

以（~~~前方高能预警~~~~前方高能~~）

你眼中看似落叶纷飞改动无常的国际，实践只是躺在天主怀中一份早已谱好的乐章。

（世人：鸡汤滚出知乎！）

抱愧，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告知咱们，任何周期函数，都能够看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在榜首个比如里咱们能够了解为，使用对不同琴键不同力度，不同时刻点的敲击，能够组合出任何一首乐曲。

而贯穿时域与频域的办法之一，便是传中说的傅里叶剖析。傅里叶剖析可分为傅里叶级数（FourierSerie）和傅里叶变换(FourierTransformation)，咱们从简略的开端谈起。

二、傅里叶级数(FourierSeries)

仍是举个栗子并且有图有本相才好了解。

假如我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会信任吗？你不会，就像当年的我相同。可是看看下图：

榜首幅图是一个抑郁的正弦波cos（x）

第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)

第三幅图是4个发春的正弦波的叠加

第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

跟着正弦波数量逐步的添加，他们最终会叠加成一个规范的矩形，咱们从中领会到了什么道理？

（只需尽力，弯的都能掰直！）

跟着叠加的递加，一切正弦波中上升的部分逐步让本来缓慢添加的曲线不断变陡，而一切正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时持续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。可是要多少个正弦波叠加起来才干构成一个规范90度角的矩形波呢？不幸的告知咱们，答案是无量多个。（天主：我能让你们猜着我？）

不只是是矩形，你能想到的任何波形都是能够如此办法用正弦波叠加起来的。这是没有触摸过傅里叶剖析的人在直觉上的榜首个难点，可是一旦接受了这样的设定，游戏就开端有意思起来了。

仍是上图的正弦波累加成矩形波，咱们换一个视点来看看：

在这几幅图中，最前面黑色的线便是一切正弦波叠加而成的总和，也便是越来越挨近矩形波的那个图形。而后边依不同色彩摆放而成的正弦波便是组合为矩形波的各个重量。这些正弦波依照频率从低到高早年向后摆放开来，而每一个波的振幅都是不同的。必定有仔细的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也便是说，为了组成特别的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

这儿，不同频率的正弦波咱们成为频率重量。

好了，要害的当地来了！！

假如咱们把榜首个频率最低的频率重量看作“1”，咱们就有了构建频域的最根本单元。

关于咱们最常见的有理数轴，数字“1”便是有理数轴的根本单元。

（好吧，数学称法为——基。在那个时代，这个字还没有其他古怪的解说，后边还有正交基这样的词汇我会说吗?）

时域的根本单元便是“1秒”，假如咱们将一个角频率为

的正弦波cos(

t)看作根底，那么频域的根本单元便是

。

有了“1”，还要有“0”才干构成国际，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）便是一个周期无限长的正弦波，也便是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流重量，在傅里叶级数的叠加中，它只是影响悉数波形相关于数轴全体向上或是向下而不改动波的形状。

接下来，让咱们回到初中，回想一下现已死去的八戒，啊不，现已死去的教师是怎样界说正弦波的吧。

正弦波便是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的根本单元也能够了解为一个一向在旋转的圆

知乎不能传动态图真是太让人怅惘了……

想看动图的同学在这儿：

还能够点击链接：

en.wikipedia.org/wiki/

File:Fourier_series_square

_wave_circles_animation.gif

点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这儿的文章这么没节操是不是。

介绍完了频域的根本组成单元，咱们就能够看一看一个矩形波，在频域里的另一个容貌了：

这是什么古怪的东西？

这便是矩形波在频域的姿态，是不是彻底认不出来了？教科书一般就给到这儿然后留给了读者无量的遥想，以及无量的吐槽，其实教科书只需补一张图就足够了：频域图画，也便是俗称的频谱，便是——

再清楚一点：

能够发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的五颜六色直线。振幅为0的正弦波。

动图请看：

老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有呈现，那时我就想到了这种表达办法，并且，后边还会参加维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

可是在讲相位谱之前，咱们先回忆一下刚刚的这个比如终究意味着什么。记住前面说过的那句“国际是停止的”吗？估量好多人对这句话都现已吐槽半响了。幻想一下，国际上每一个看似紊乱的表象，实践都是一条时刻轴上不规则的曲线，但实践这些曲线都是由这些无量无尽的正弦波组成。咱们看似不规则的工作反而是规则的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑际中会发生一个什么画面呢？

咱们眼中的国际就像皮影戏的大幕布，幕布的后边有很多的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那便是咱们自己。咱们只看到这个小人毫无规则的在幕布前扮演，却无法猜测他下一步会去哪。而幕布后边的齿轮却永久一向那样不断的旋转，永不断歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在咱们都是高中生的时分感叹的，其时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……

（源自：知乎??作者：Heinrich)
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